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2次元2状態量子ウォーク
2002年，今野は1次元2状態量子ウォーク(1D2SQW)の弱収束定理を証明し，その極限分布の陽な形式を求めた．量子ウォークの弱収束定理とは，量子ウォーカーの時刻$t$における位置を表す確率変数を$X_t$としたとき，$X_t / t$が$t \to \infty$の極限である確率変数$V_{\mathrm{K}}$に弱収束するという定理である．この$V_{\mathrm{K}}$は以下の分布を持つ：
$$\begin{align}
P(V_{\mathrm{K}} \le u) &= \lim_{t \to \infty} P\left(\dfrac{X_t}{t} \le u\right) = \int_{-\infty}^u w(v)f_{\mathrm{K}}(v; a)\, dv, \\
f_{\mathrm{K}}(v; r) &= \dfrac{\sqrt{1 - r^2}}{\pi(1 - v^2)\sqrt{r^2 - v^2}}I_{(-r, r)}(v).
\end{align}$$
後にこの分布は**今野分布**と呼ばれるようになった．ここで，$f_{\mathrm{K}}(v; a)$は初期状態に依存しない**今野函数**と呼ばれる1変数函数で，集合$S$に対して$I_S(v)$は指示関数である．また，$w(v)$は初期状態に依存する重み函数である．
2次元量子ウォークにおける今野分布とはなにかという疑問は当時から存在したが，その陽な形式については限定的にしか分かっていなかった．本稿では2次元2状態量子ウォーク(2D2SQW)について解析した結果として，2次元今野分布が得られたので，これを報告する．
本稿で取り扱う2D2SQWの時間発展作用素$U$はヒルベルト空間$\ell^2(\mathbb{Z}^2; \mathbb{C}^2)$上のユニタリ作用素で以下で定義される：
$$U := S_2C_2S_1C_1.$$
ここでシフト作用素$S_j \ (j = 1, 2)$とコイン作用素$C_j \ (j = 1, 2)$は以下である：
$$S_j := \begin{bmatrix} L_j & O \\ O & L_j^* \end{bmatrix}, \qquad
C_j := \begin{bmatrix} a_j & b_j \\ -b_j & a_j \end{bmatrix}.$$
ただし，$L_j$は$x_j$方向の$\ell^2(\mathbb{Z}^2; \mathbb{C})$上の左/下シフト作用素，$a_j, b_j \in [0, 1]$は$b_j = (1 - a_j^2)^{1/2}$を満たす．
## 群速限界
1D2SQWの群速度$v_{\mathrm{g}}(k)$から，**群速限界** (**maximal speed**)と呼ばれる量$v_{\mathrm{max}} := \max_{k \in [-\pi, \pi)} |v_{\mathrm{g}}(k)|$を定義する．1D2SQWの場合この$v_{\mathrm{max}}$はコイン作用素のパラメータ$a$に等しい．この$v_{\mathrm{max}}$によって，1D2SQWの漸近挙動は3種類に分類できる（表1）．
**表1: 1次元2状態量子ウォークの群速限界による漸近挙動**
| 群速限界$v_{\mathrm{max}}$ | $V_{\mathrm{K}}$の分布 | 漸近挙動 |
| :--- | :---: | :---: |
| $v_{\mathrm{max}} = 0$ | $\delta_0$ | 有界領域 |
| $v_{\mathrm{max}} = 1$ | $C_{+1}\delta_{+1} + C_{-1}\delta_{-1}$ | 自明な弾性運動 |
| $v_{\mathrm{max}} \in (0, 1)$ | $w(v)f_{\mathrm{K}}(v; v_{\mathrm{max}})$ | 線型な広がり |
※ $\delta_a$は$\delta_a(v) = 1\, (v = a); 0\, (\text{otherwise})$で定まるデルタ測度である．
群速限界は2D2SQWに対しても以下のように定義できる：
$$v_{\mathrm{max}} = \max_{j = 1, 2} \max_{k \in \mathbb{T}^2} |v_{\mathrm{g}, j}(k)|.$$
パラメータ$a, b$をコイン作用素のパラメータ$a_j, b_j \ (j = 1, 2)$を用いて，$a := a_2a_1, b := b_2b_1$と定義したとき，$v_{\mathrm{max}} = a + b$と計算できる．
また，パラメータ$a, b$と群速限界$v_{\mathrm{max}} = a + b$を用いることで2D2SQWを分類できる．任意の2D2SQWは領域
$$\Delta := \{(a, b) \mid a \ge 0, \ b \ge 0, \ a + b \le 1\}$$
の点と1対1対応するが，これを
$$\begin{align}
\Delta_{ab = 0} &:= \{(a, b) \mid ab = 0\}, \\
\Delta_{(0, 1)} &:= \{(a, b) \mid ab \neq 0, \ a + b < 1\}, \\
\Delta_1 &:= \{(a, b) \mid ab \neq 0, \ a + b = 1\}
\end{align}$$
の3つのパラメータ領域に分類する．
## 2次元今野分布
本質的である$(a, b) \in \Delta_{(0, 1)}$のパラメータ領域に限定する．3つの楕円由来の函数$F_j \ (j = 1, 2)$と$F_0$を以下で定義する：
$$\begin{align}
F_j(v_1, v_2) &= 1 - \dfrac{(v_1 + v_2)^2}{4a_j^2} - \dfrac{(v_1 - v_2)^2}{4b_j^2}, \\
F_0(v_1, v_2) &= \dfrac{(a_1b_2)^2 + (a_2b_1)^2}{2ab}\left[1 - \dfrac{(v_1 + v_2)^2}{4a_0^2} - \dfrac{(v_1 - v_2)^2}{4b_0^2}\right].
\end{align}$$
ここで，
$$a_0^2 = \dfrac{(a_1b_2)^2 + (a_2b_1)^2}{b_1^2 + b_2^2}, \qquad
b_0^2 = \dfrac{(a_1b_2)^2 + (a_2b_1)^2}{a_1^2 + a_2^2}$$
である．
### 定理1（2次元今野分布）
$(a, b) \in \Delta_{(0, 1)}$とする．このとき，$X_t / t$の極限分布は以下で与えられる：
$$P(V_1 \le u_1, V_2 \le u_2) = \int_{-\infty}^{u_1} \int_{-\infty}^{u_2} \{w_+(v_1, v_2)f_+(v_1, v_2) + w_-(v_1, v_2)f_-(v_1, v_2)\, dv_2dv_1.$$
ここで，函数$w_{\pm}$は初期状態に依存する重み函数で，本稿では省略する．$f_{\pm}$は初期状態に依存しない函数で以下で定義される：
$$f_{\pm}(v_1, v_2) = \dfrac{F_0 \pm \sqrt{F_1F_2}}{2\pi^2(1 - v_1^2)(1 - v_2^2)\sqrt{F_1F_2}}I_{\{(v_1, v_2) \mid F_1(v_1, v_2) > 0, \ F_2(v_1, v_2) > 0\}}.$$
$\rho_{(a, b)}(v_1, v_2) := w_+(v_1, v_2)f_+(v_1, v_2) + w_-(v_1, v_2)f_-(v_1, v_2)$とする．この分布を適切に1次元に潰す極限を，任意の有界な2変数連続函数$g(v_1, v_2)$に対して，1次元分布$\rho_{a_1}(v)$の存在を用いて以下で表す：
$$\lim_{b_2 \to 0} \int_{\Sigma(\hat{v})} g(v_1, v_2)\rho_{(a, b)}(v_1, v_2)\, dv_1dv_2 = \int_{-a_1}^{a_1} g(v, v)\rho_{a_1}(v)\, dv.$$
この分布が2次元今野分布と呼べる理由は以下の定理による：
### 定理2（1次元極限）
$\rho_{a_1}(v)$が存在して，
$$\rho_{a_1}(v) = w(v; a_1)f_{\mathrm{K}}(v; a_1)$$
が成立する．ここで，$f_{\mathrm{K}}(v; a_1)$は1次元今野函数であり，$w(v; a_1)$はその重み函数である．
その他のパラメータ領域については詳述しないが，以下の表のようになる（表2）
**表2: 群速限界の値による2次元2状態量子ウォークの漸近分布とその1次元極限分布との関係**
| パラメータ | 群速限界 | 2D2SQWの漸近分布 | | 1次元分布 |
| :--- | :---: | ---: | :---: | :--- |
| $(a, b) \in \Delta_{ab = 0}$ | $\max{a, b}$ | 1DQW | | N/A |
| $(a, b) \in \Delta_{(0, 1)}$ | $(0, 1)$ | $w_+f_+ + w_-f_-$ | $\xrightarrow[b \to 0]{a + b < 1}$ | $wf_{\mathrm{K}}$ |
| $(a, b) \in \Delta_1$ | $1$ | $w_+f$ | $\xrightarrow[b \to 0]{a + b = 1}$ | $C_{-1}\delta_{-1} + C_{+1}\delta_{+1}$ |